§ 39. Комплексный чертеж прямой линии

Учитывая то, что прямую линию в пространстве можно определить положением двух ее точек, для построения ее на чертеже достаточно выполнить комплексный чертеж этих двух точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями. При этом получаем соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой.

На рис. 69, а показаны прямая l и принадлежащие ей точки А и В. Для построения фронтальной проекции прямой l2 достаточно построить фронтальные проекции точек А2 и В2 и соединить их прямой. Аналогично строится горизонтальная проекция, проходящая через горизонтальные проекции точек А1 и В1. После совмещения плоскости П1 с плоскостью П2 получим двухпроекционный комплексный чертеж прямой l (рис. 69, б).

Профильную проекцию прямой можно построить с помощью профильных проекций точек А и В. Кроме того, профильную проекцию прямой можно построить, используя разность расстояний двух ее точек до фронтальной плоскости проекций, т. е. разность глубин точек (рис. 69, в). В этом случае отпадает необходимость наносить оси проекций на чертеж. Этот способ, как более точный, и используется в практике выполнения технических чертежей.

§ 40. Расположение прямой относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций (см. рис. 69), называют прямой общего положения. Прямую, параллельную или перпендикулярную одной из плоскостей проекций, называют прямой частного положения.

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называют прямыми уровня. Название их зависит от того, какой плоскости они параллельны. Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью и обозначают на чертежах h (рис. 70).

Прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью и обозначают f (рис.71).

Рис. 69

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

Прямую, параллельную профильной плоскости проекций, называют профильной и обозначают р (рис. 72).

У прямой уровня одна проекция параллельна самой прямой и определяет углы наклона этой прямой к двум другим плоскостям проекций.

Параллельность одной из плоскостей проекций определяет расположение двух других проекций прямой уровня:

h2 || П2/П1 ;

h3 _|_ П2/П3 ;

f2 || П2/П1;

f3 _|_ П2/П3 ;

p1 _|_ П2/П1 ;

p2 _|_ П2/П1 ;

Прямые h2 и f1 перпендикулярны вертикальным линиям связи; р1 и р2 располагаются на одной вертикальной линии связи и при двухпроекционном чертеже должны быть определены двумя точками прямой р.

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими. Эти прямые, будучи перпендикулярными одной плоскости проекций, оказываются параллельными двум другим плоскостям проекций. Поэтому у проецирующих прямых одна проекция превращается в точку, а две другие проекции параллельны самой

Рис. 73

прямой и совпадают на чертеже с направлением линии связи (рис. 73). Различают горизонтально проецирующие прямые (АВ), фронтально проецирующие прямые (CD) и профильно проецирующие прямые (EF).

§ 41. Взаимное расположение двух прямых

Две прямые пространства могут иметь различное расположение (рис. 74). Они могут совпадать а = b, быть параллельными c|| d, пересекаться т ^ n и скрещиваться (k° / l).

Если две прямые параллельны, то на комплексном чертеже (рис. 75, а) их одноименные проекции параллельны.

Если две прямые пересекаются в некоторой точке М, то проекции этой точки должны принадлежать одноименным проекциям прямых, т. е. точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых должны лежать на одной линии связи (рис. 75, б):

m^n=M->{m1^n1=M1 или m2^n2= М2}

Если две прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи (рис. 75, в):

Рис. 74

Рис. 75

a°/b —> а1 ^ b1 = А1(l1) — горизонтально конкурирующие точки; а2^b1 = В2(l1) — фронтально конкурирующие точки. В другом случае одна пара проекций будет пересекаться, а вторая может быть параллельными прямыми (рис. 75, г):

k0 /l ->{ k2 ^ l2 или k1 || l1}

Следует обратить внимание на особые случаи определения взаимного расположения двух прямых в пространстве. Если одна из них (рис. 76, а) или обе (рис. 76, б) окажутся профильными прямыми, то для определения их взаимного расположения необходимо построить третью, профильную проекцию этих прямых. Если рассматривать рис. 76, а, можно ошибочно сделать предположение, что прямые АВ и CD пересекаются. Однако если построить профильные проекции этих прямых, станет видно, что они скрещиваются, так как точки 1 и 2 не совпадают, а являются фронтально конкурирующими точками.

Рис. 76

Рис. 77

Рассматривая рис. 76, б можно ошибочно предположить, что прямые АВ и CD параллельны. Но после построения их профильных проекций увидим, что они скрещиваются, так как на этой плоскости проекции их пересекаются.

Две прямые, параллельные или пересекающиеся, могут иметь общую проецирующую плоскость (рис. 77, а). Тогда их изображения на соответствующую плоскость проекций совпадут. Такие прямые называют конкурирующими:

a^b=A->{а2 ^b2=А2 или а1==b1 ,A1~а1(b1)}

Прямые а и b горизонтально конкурирующие, имеют общую горизонтально проецирующую плоскость (рис. 77, б). Прямые с и d (рис. 77, в) — фронтально конкурирующие, имеют общую фронтально проецирующую плоскость.

§ 42. Определение натуральной величины отрезка прямой линии

При решении задач инженерной графики в ряде случаев появляется необходимость в определении натуральной величины отрезка прямой линии. Решить эту задачу можно несколькими способами: способом прямоугольного треугольника, способом вращения, плоскопараллельного перемещения, заменой плоскостей проекций.

Рассмотрим пример построения изображения отрезка в истинную величину на комплексном чертеже способом прямоугольного треугольника. Если отрезок расположен параллельно какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость он проецируется в натуральную величину. Если же отрезок представлен прямой общего положения, то на одной из плоскостей проекций нельзя определить его истинную величину (см. рис. 69).

Возьмем отрезок общего положения АВ (A ^ П1) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций (рис. 78, а). В пространстве при этом образуется прямоугольник А1ВВ1, в котором гипотенузой является сам отрезок, одним катетом — горизонтальная проекция этого отрезка, а вторым катетом — разность высот точек А и В отрезка. Так как по чертежу прямой определить разность высот точек ее отрезка не составляет труда, то можно построить по горизонтальной проекции отрезка (рис. 78, б) прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом превышение одной точки над второй. Гипотенуза этого треугольника и будет натуральной величиной отрезка АВ.

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов (рис. 78, в), замеренную на плоскости П1.

Рис. 78

Для определения натуральной величины отрезка прямой можно воспользоваться поворотом ее относительно плоскостей проекций, чтобы она расположилась параллельно одной из них (см. § 36) или вводом новой плоскости проекций (заменой одной из плоскостей проекций) так, чтобы она была параллельна одной из проекций отрезка (см. §§58, 59).

§ 43. Кривые линии

Кривые линии на комплексном чертеже задают своими проекциями, которые строят по проекциям отдельных точек, принадлежащих этой линии. Проекции линий при ортогональном проецировании получают как результат пересечения проецирующих цилиндров с плоскостями проекций (см. § 28); это означает, что проекциями плоских и пространственных кривых линий являются линии плоские. На рис. 79 видно, что секущая т кривой а в общем случае проецируется секущей ее проекции, а касательная/к кривой проецируется касательной к ее проекции.

На комплексном чертеже кривой ее особые точки, к которым относятся точки перегиба, возврата, излома, узловые точки, являются особыми точками и на ее проекции. Это объясняется тем, что особые точки кривых связаны с касательными в этих точках.

Если плоскость кривой занимает проецирующее положение (рис. 80, а), то одна проекция этой кривой имеет форму прямой. У пространственной кривой все ее проекции — кривые линии (рис. 80, б).

Чтобы установить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная), необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости. Заданная на рис. 80, б кривая является пространственной, так как точка D кривой не принадлежит плоскости, определяемой тремя другими точками А, В и Е этой кривой.

Построение и изображение кривых рассматривалось в § 21,22, поэтому приведем пример изображения на чертеже только окружности как плоской кривой и винтовой линии как пространственной кривой.

Окружность — плоская кривая второго порядка, ортогональная проекция которой может быть окружностью и эллипсом (рис. 81, а). Для изображения окружности диаметра d на комплексном чертеже обязательно строят проекции центра О и двух ее диаметров. Удобнее всего строить проекции диаметров, параллельных плоскостям проекций: АВ || П1 CD || П2; CD _|_ П1 (рис. 81, б). Фронтальная проекция окружности — эллипс — определяется малой осью эллипса A1B2 = dcos b и большой осью эллипса С2D2=d

Рис. 79

Рис. 80

Рис. 81

Если плоскость окружности наклонена ко всем основным плоскостям проекций, то все три ее проекции есть эллипсы, которые можно построить по сопряженным диаметрам, являющимся проекциями тех диаметров окружности, которые параллельны плоскостям проекций (см.
рис. 37).

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) — пространственная кривая, представляющая собой траекторию точки, выполняющей винтовое движение. Винтовое движение включает в себя равномерное поступательное движение точки по прямой и равномерное вращательное движение этой прямой с точкой вокруг оси i, которой прямая параллельна. Высота p, на которую точка поднимается по прямой за полный оборот, называется шагом винтовой линии (рис. 82). Если ось i винтовой линии перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция винтовой линии есть окружность, а фронтальная — синусоида.

Для построения фронтальной проекции винтовой линии при заданном диаметре d и шаге р нужно разделить и окружность, и шаг на равное число частей. Построение проекций точки винтовой линии показано на рис. 82. Цилиндрическую винтовую линию можно развер-

Рис. 82

нуть на плоскость. Развертка ее представляет собой прямую линию с углом подъема а, где tga = P / лd.

§ 44. Взаимное расположение точки и линии

Точка в пространстве по отношению к линии может занимать два положения: принадлежать ей или не принадлежать. Если она принадлежит линии, она составляет с ней единое целое и проекции ее на чертеже лежат на соответствующих проекциях линии, а также на одной линии связи.

Если же хотя бы одна из проекций точки не лежит на проекции линии, точка ей не принадлежит. На рис. 83 показан комплексный чертеж линии l, а также ряда точек. Из чертежа видно, что точка А принадлежит линии b, так как горизонтальная ее проекция А1 лежит на горизонтальной проекции линии 11, а фронтальная проекция точки А2 расположена на фронтальной проекции прямой А и ле-

Рис. 83

жит на одной вертикальной линии связи с точкой А1. Точки В и С не принадлежат линии l, так как в первой фронтальная, а во второй горизонтальная проекции не принадлежат соответствующим проекциям линии. Точки D и Е не принадлежат линии l, так как ни одна из их проекций не принадлежит соответствующей проекции линии.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛИНИЙ НА ЧЕРТЕЖЕ § 38. Образование линий

В общем случае линию можно представить как множество последовательных положений перемещающейся в пространстве точки. Если точка передвигается без изменения направления, образуется прямая линия, если направление движения точки меняется — образуется кривая линия.

Если точка перемещается в одной плоскости, образуется плоская линия, если ее траектория выходит за пределы одной плоскости — такую линию называют пространственной. Пространственные линии не лежат всеми своими точками в одной плоскости. Их называют также линиями двоякой кривизны.

Примерами плоских линий могут быть окружность, эллипс, овал. В качестве примера пространственной линии можно привести винтовую линию.

Плоские линии делят на циркульные, состоящие из сопряженных дуг окружностей, и лекальные — имеющие переменную кривизну. На чертежах циркульные линии проводятся с помощью циркуля, а лекальные — с помощью лекал.

Графически на чертеже линии задаются с помощью проекций. При этом должна быть показана проекционная связь хотя бы одной ее точки, что позволяет избежать неопределенности.

Простейшим видом линии является прямая.

Чем отличается плоская линия от

1. Дайте определение линии.

2. Чем отличается плоская линия от пространственной?

3. Приведите примеры, плоских и пространственных линий.

4. Чем отличается образование прямой линии от кривой?

5. Чем определяется проекция прямой линии?

6. Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций?

7. Какие линии относятся к линиям уровня? Какие линии уровня вы знаете?

8. Какие линии относятся к проецирующим? Назовите виды проецирующих линий.

9. Как определить истинную величину отрезка по его комплексному чертежу?

10. Как могут быть расположены в пространстве две прямые линии?

11. Как изображается окружность на комплексном чертеже, если она лежит во фронтально проецирующей плоскости; во фронтальной плоскости уровня; в плоскости общего положения?

12. Как можно построить эллипс — прямоугольную проекцию окружности, расположенной во фронтально проецирующей плоскости?

13. Какие параметры определяют цилиндрическую винтовую линию?

§ 46. Изображение плоскости на чертеже

Плоскость на чертеже может быть задана различными способами: тремя точками, не лежащими на одной прямой Q(A, В, С) (рис. 88, а);

прямой и точкой, не лежащей на одной прямой Q(aA; A не принадлежит а) (рис. 88, б);

Рис. 88

двумя пересекающимися прямыми Q(a || b) (рис. 88, в);

двумя параллельными прямыми Q(a ^ b) (рис. 88, г);

любой плоской фигурой, например, треугольником Q(ABC) (рис. 88, д).

Плоскости, заданные на чертеже одним из таких способов, не ограничиваются проекциями определяющих ее элементов.

Рассматривая комплексный чертеж плоскости, можно убедиться, что каждый из названных способов задания ее допускает возможность перехода от одного из них к другому.

§ 47. Расположение плоскости

По расположению относительно плоскостей проекций плоскости делят на плоскости общего и частного положения.

К плоскостям общего положения относятся плоскости, непараллельные и неперпендикулярные ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (см. рис. 88) проекции элементов, которыми задана плоскость, как правило, занимают общее положение.

К плоскостям частного положения относятся плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

§ 48. Особые линии в плоскости

К особым линиям в плоскости можно отнести линии, параллельные плоскости проекций. Их называют линиями уровня.

Линию, принадлежащую плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью плоскости (рис. 92, а). Построение горизонтали всегда начинают с ее фронтальной проекции: h(A1 1)~ Q(ABC);h2 ~ A2;h2 _|_ A2Al;h2 ^ B2C2 = l2,l2l1 || A2A1.

Линию, принадлежащую плоскости и параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью плоскости (рис. 92, б). Построение фронтали начинают с горизонтальной проекции: f(F1 1) ~ ^(DFE); F1~f1, f1,_|_F1F2; f1^D1E1=l1; l1l2 || F1F2;

l1l2^D2E2=l2^F2=l2.

Рассматривая особые линии в плоскостях частного положения, можно убедиться, что соответствующие линии уровня в этом случае будут и проецирующими.

На рис. 92, в показана горизонталь h фронтально проецирующей плоскости Sum. В данном случае она будет также фронтальной проецирующей прямой, т. е. h э Sum; Sum _|_ П2.

Рис. 92

§ 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рис. 93 показана плоскость Sum (axb). Прямая l принадлежит плоскости Sum, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой пря-

Рис. 93

Рис. 94

мой, лежащей в этой плоскости. На рис. 93 прямая m || Sum, так как она параллельна прямой l, принадлежащей этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в §61.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рис. 94 показан комплексный чертеж плоскости Sum, заданной двумя параллельными прямыми l и п. В плоскости расположена линия m. Точка A лежит в плоскости Sum, так как она лежит на прямой m. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.

§ 50. Коническая и цилиндрическая поверхности

К коническим относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m. Особенностью образования конической поверхности является то, что

§ 51. Торсовые поверхности

Торсовой называется поверхность, образованная прямолинейной образующей l , касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называемой ребром возврата (рис. 96). Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмической частью служит указание касательности образующих к ребру возврата.

Коническая поверхность является частным случаем торса, у которого ребро возврата т выродилось в точку S— вершину конической поверхности. Цилиндрическая поверхность — частный случай торса, у которого ребро возврата — точка в бесконечности.

§ 52. Гранные поверхности

К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайни-

Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

ми относительно него положениями образующей l ) и ребро (линия пересечения смежных граней).

Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие и направляющие: l' ~ S;

l ^ т.

Определитель призматической поверхности, кроме направляющей т, содержит направление S, которому параллельны все образующие l поверхности: l||S; l^ т.

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр — куб (рис. 99, а), тетраэдр — правильный четырехугольник (рис. 99, 6) октаэдр — многогранник (рис. 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей.
На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

Рис. 100



Рис. 101

При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.

Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.

§ 53. Винтовые поверхности

К винтовым относятся поверхности, создаваемые при винтовом движении прямолинейной образующей. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i; при этом образующая l пересекает винтовую ось под прямым углом (рис. 102, а). Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.

Наклонный геликоид образуется движением образующей по винтовой направляющей т и ее оси i так, что образующая l пересекает ось i под постоянным углом ф, отличным от прямого, т. е. в любом положении образующая l параллельна одной из образующих направляющего конуса с углом при вершине, равным 2ф(рис. 102, б). Наклонные геликоиды ограничивают поверхности витков резьбы.

Рис. 102

§ 54. Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор .определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П1. В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h4.

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой — оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному

Рис. 103

Рис. 104

меридиану f, точка В — экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h'.



Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) — вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) — вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет — цилиндр будет наклонным.

Рис. 105



Рис. 106

Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения — конус будет прямой, если нет — наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину — конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину — пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза.Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна — наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

§ 55. Точка и линия на поверхности

В общем случае линия может принадлежать поверхности или не принадлежать. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности (см. рис. 103, линия l). Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности (см. § 49). Задачи построения линий, принадлежащих поверхности, входят составной частью в задачи построения линий пересечения поверхностей плоскостью и пересечения двух поверхностей, которые рассматриваются в §§ 63, 64.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой. Задачи такого типа рассматриваются в § 63.

Точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. На рис. 104, в точка М принадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности /г', лежащей на этой поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М на рис. 104, а), поверхности тора (точка М на рис. 105) и поверхности более сложной формы (точка М на рис. 103).

Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки — точка принадлежит поверхности, если не пройдет — не принадлежит.



Эту задачу можно рассмотреть на примере рис. 104, а. На комплексном чертеже задана коническая поверхность очерковыми линиями. Задана также точка М горизонтальной и фронтальной проекций. Через горизонтальную проекцию точки проведем горизонтальную проекцию h1окружности, принадлежащей конической поверхности. Построив фронтальную проекцию h2 этой окружности, убеждаемся, что она прошла через фронтальную проекцию точки. Это и подтверждает, что точка принадлежит конической поверхности.

Данная задача может быть решена и другим путем. При тех же исходных данных через фронтальную проекцию М1 точки проводим проекцию одной из образующих f Построив горизонтальную проекцию h образующей, убеждаемся, что она прошла через горизонтальную проекцию М1 точки М, и это позволяет сделать вывод о том, что точка М принадлежит конической поверхности.

Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и др., что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге — деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.

ПОВЕРХНОСТИ § 45. Образование поверхностей

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие т можно поменять местами, но при этом по верхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси г, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется

Рис. 85 перемещением окружности

у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые, у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности — неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Рис. 86

Рис. 87

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86). При проецировании поверхности Q на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются к этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l, которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности.
На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П1 — горизонтальный очерк, на П2 — фронтальный очерк, на П3 — профильный очерк поверхности. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые поверхности, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m1 и m2.

В свою очередь, плоскости

К проецирующим плоскостям относятся плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Все проецирующие плоскости будем обозначать буквой Е. Проецирующие плоскости могут быть перпендикулярны П1, П2 или П3. В зависимости от этого различают горизонтально проецирующие плоскости, когда Sum_|_ П1 ; фронтально проецирующие плоскости, когда Sum_|_П2; профильно проецирующие плоскости, когда Sum_|_П3;

Проецирующая плоскость отличается тем, что проекция ее на плоскость проекций, ей перпендикулярную, всегда изображается в виде прямой линии и фигур, лежащих в проецирующей плоскости. Проекция плоскости, выраженной в прямой, вполне определяет положение плоскости относительно плоскостей проекций. Например, на рис. 89, а приведен комплексный чертеж плоскости I, заданной двумя параллельными прямыми. Из рисунка видно, что I (а \\ Ъ) является горизонтально проецирующей плоскостью и расположена под углом Р к фронтальной плоскости проекций и под углом у с фронтальной плоскостью проекций.

На рис. 89, б приведен комплексный чертеж плоскости Sum, составляющей угол а с горизонтальной плоскостью проекций и угол у с фронтальной плоскостью проекций. Это можно записать так: AВС ~ A2 ~ Sum2, B2 ~ Sum2, C2 ~ Sum2.

Наличие вырожденной проекции дает возможность задавать проецирующие плоскости на комплексном чертеже только одной проекцией. На рис. 89, в через точку А проведена профильно проецирующая плоскость (Sum_|_П3) под углом а к П1.

Все изображения, расположенные в заданной плоскости, на плоскости, не перпендикулярные ей, проецируются с искажением.

К плоскостям уровня относятся плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Их можно считать дважды проецирующими

Рис. 90

плоскостями, так как у них на комплексном чертеже две проекции имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линии связи, а третья проекция дает изображение всех элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину. Плоскости уровня обычно обозначаются: Г— горизонтальная плоскость уровня; Ф — фронтальная плоскость уровня; U — профильная



плоскость уровня. На рис. 90, а дан комплексный чертеж плоскости горизонтального уровня (Г || П1); на рис. 90, б приведен комплексный чертеж плоскости фронтального уровня (Ф || П2), Ф э АВС, А2В2С2 — истинная величина треугольника ABC; на рис. 90, в показан комплексный чертеж профильно проецирующей плоскости (U || П3, u аА; А ~ а).

Плоскости уровня отличаются тем, что на плоскости проекций, им перпендикулярную, они проецируются в прямую линию, на которой располагаются точки, прямые и фигуры, расположенные в плоскости уровня. Эти прямые являются вырожденными проекциями заданной плоскости. На плоскость проекций, параллельную заданной плоскости, все изображения этой плоскости проецируются без искажений, т. е. в натуральную величину.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться. Параллельными будут плоскости, если одна из них задана пересекающимися прямыми, параллельными пересекающимся, за-

Рис. 91

дающим вторую плоскость; на рис. 91 показаны параллельные плоскости: Sum (ахb) и Sum2 (cxd), причем а || с, ab || d.

Если плоскости пересекаются, то линия их пересечения — прямая. Плоскости, перпендикулярные между собой, представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями составляет 90°.

Построение линий пересечения плоскостей рассматривается в §62.

Рис. 96 при этом одна

На рис. 95, в показана горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность.

На цилиндрической и конической поверхностях заданные точки строят с помощью образующих, проходящих через них. Линии на поверхностях, например линия а на рис. 95, в или горизонтали h на рис. 95, а, б, строятся с помощью отдельных точек, принадлежащих этим линиям.

Как на комплексном чертеже изображаются

1. Что называется поверхностью?

2. Как классифицируются поверхности?

3. Что включает в себя определитель поверхности?

4. Как на комплексном чертеже изображаются поверхности?

5. Что такое плоскости и какими элементами пространства ее можно задать на чертеже?

6. Какие особые линии в плоскости вы знаете?

7. Как они изображаются на комплексном чертеже?

8. Как может быть расположена плоскость относительно плоскостей проекции?

9. Как образуются коническая и цилиндрическая поверхности?

10. Как образуются гранные поверхности?

11. Охарактеризуйте поверхность с ребром возврата.

12. Какие поверхности называются винтовыми?

13. Какие вы знаете поверхности вращения?

14. Какие линии характерны для поверхности вращения и какова их роль в построении изображений поверхности?

§ 57. Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение. При этом если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.

На рис. 107 показан комплексный чертеж прямой АВ. Прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Требуется с помощью плоскопараллельного перемещения задать ей такое положение, чтобы она была параллельна одной из плоскостей проекций, например П2. Через произвольную точку А1, проводим прямую l1 параллельную оси П2/П1, и от этой точки на прямой откладываем отрезок, равный

Рис. 107

А1В1. Из точки А1 проводим вертикальную линию связи, а из точки AT, — горизонтальную линию, на пересечении которых и будет новое положение фронтальной проекции А2'. Аналогично проведем вертикальную линию связи из точки В1 до пересечения с горизонтальной линией, проведенной из точки B2. Новое положение фронтальной проекции точки В получим на пересечении этих линий в точке В2'.

После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П2, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину.

Применяя метод плоскопараллельного перемещения, можно решать многие задачи, связанные с определением натуральной величины отрезков, углов, плоских фигур, а также заданием им нужного положения. Однако он связан с изменением положения геометрической фигуры в пространстве. В практике же встречаются задачи, при решении которых при преобразовании комплексного чертежа удобнее оставить положение проецирующего тела неизменным, а изменить положение плоскостей проекций.

§ 58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П4, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П1_|_П2 перейти к системе П4 _|_ П1 или П4 _|_ П2. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П1 _|_ П4, причем П4 || l. Новые линии связи A1A4 и В1В4 проведены

Рис. 108

Рис. 109

Рис. 110

Рис. 111

перпендикулярно новой оси —П1/П4 параллельной горизонтальной проекции l1.

Новая проекция прямой дает истинную величину А4В4 отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L1П1). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L1П2) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П2 (рис. 109).



2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П4_|_ П1. (рис. 110), а фронталь f— на П4_|_ П2

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П4_|_ П2, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П2_|_ П4, прямая заняла положение линии l уровня (А2А4 _|_П2/П1;

П2/П4 || l2). Затем от системы П2 _|_ П4 осуществлен переход в систему

Рис. 112



Рис. 113

П4 _|_П5, причем вторая новая плоскость проекций П5 перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П4, то на плоскости П5 получаем изображение прямой в виде точки (А5 = B5 = l5).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П4 _|_П1. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П4 расположена перпендикулярно горизонтали h.


Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П1/П4, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П1).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П2 _|_П4, (П4 расположить перпендикулярно фронтали плоскости),



Рис. 114

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П2 _|_П4, а если горизонтально проецирующим, то в системе П1 _|_П4. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А4В4С4 горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П4 _|_П1

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П1 / П4 _|_h1. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П5 нужно замерить на плоскости П1 от оси П1 / П2 и откладывать по новым линиям связи от новой оси П4 /П5. Проекция D5E5F5 треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

§ 59. Способ вращения

Как уже отмечалось, при преобразовании комплексного чертежа возможно изменение положения заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций при неизменном положении основных плоскостей проекций. Это осуществляется путем вращения этих элементов вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей. Такое преобразование комплексного чертежа носит название способа вращения.

В качестве оси вращения в этом случае удобнее всего выбирать проецирующие прямые или прямые уровни, тогда точка будет вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО

На комплексном чертеже геометрические объекты проецируются так, что многие элементы, составляющие их, например отрезки прямых, углы, плоские фигуры, изображаются с искажением. В то же время при решении многих задач часто возникает необходимость преобразовать комплексный чертеж так, чтобы необходимый элемент расположился параллельно или перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Например, необходимо, чтобы отрезок прямой, представляющий собой ребро многогранника, или многоугольник, представляющий собой грань многогранника, расположились параллельно плоскости проекций. В этом случае на эту плоскость они проецируются в натуральную величину.

Решение таких задач в значительной степени упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положение, т. е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Получающиеся в этом случае «вырожденные» проекции помогают получить ответ на поставленную задачу или упростить ход ее решения. Чтобы добиться такого расположения геометрических элементов, комплексный чертеж преобразуют или перестраивают, исходя из конкретных условий. Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. Задача преобразования комплексного чертежа может быть решена перемещением проецирующего тела в пространстве до требуемого положения или изменением в пространстве положения плоскостей проекций относительно геометрического тела. Существует несколько методов решения этих задач. В основном используются способы преобразования чертежа: плоскопараллельный перенос, способ замены плоскостей проекций (см. § 36) и способ вращения.

Так как частных положений у прямых два и у плоскости два, то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа:

прямую общего положения сделать прямой уровня;
прямую уровня сделать проецирующей;
плоскость общего положения сделать проецирующей;
проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня.

Рис. 116 При вращении

при котором все точки геометрической фигуры перемещаются во взаимно параллельных плоскостях без изменения действительного вида и размеров этой фигуры (рис. 117).

Треугольник ABC занимает общее положение. Первым плоскопараллельным перемещением он поставлен во фронтально проецирующее положение с помощью горизонтали h, которую расположим как фронтально проецирующую прямую в ее плоскости вращения Г || П. При этом А1В1С1 = А1В1С1, а плоскости вращения точек В и С параллельны плоскости Г.

Вторым перемещением АВС расположен параллельно плоскости П1. Без изменения оставлена вырожденная фронтальная проекция треугольника (А2В2C2 = А2В2С2), а новая горизонтальная проекция, дающая истинную величину АВС, получена построением новых горизонтальных проекций то-

в параллельных фронтальный плоскостях уровня

и С1 в результате их вращения в параллельных фронтальный плоскостях уровня (B2 ~ Ф; B ~ Ф).

На этом примере построено решение третьей и четвертой исходных задач путем преобразования комплексного чертежа плоскости общего положения способом плоскопараллельного перемещения.

Если в качестве оси вращения взять линию уровня, то истинную величину плоской фигуры общего положения можно построить одним поворотом, т. е. избежать двойного преобразования чертежа, что имело место в замене плоскостей проекций и плоскопараллельном перемещении. На рис. 118 построено изображение АВС (А1В1С1) после поворота его вокруг горизонтали h (С, 1) уровня Г ~ h. Так как горизонталь проходит через точку С, то последняя неподвижна при вращении треугольника. Нужно повернуть только точки А и В вокруг горизонтали до совмещения с плоскостью Г || П1. Точка А вращается в горизонтально проецирующей плоскости SumА, перпендикулярной оси вращения. Центр вращения О точки А лежит, на оси вращения. В момент, когда в результате вращения точка А окажется в плоскости Г, т. е. совместится с горизонтальной плоскостью уровня, ее горизонтальная проекция А1 будет удалена от горизонтальной проекции оси вращения h1 на расстояние, равное истинной величине радиуса вращения RА точки А. Натуральную величину RА можно построить как гипотенузу О\А прямоугольного треугольника (см. § 42), одним катетом которого является горизонтальная проекция радиуса A1O1, а вторым — разность высот точек А и О. Построив совмещенную горизонтальную проекцию точки А, легко достроить изображение всего треугольника А1B1C1 в совмещенном с плоскостью Г положении, используя неподвижную точку и плоскость вращения точки В (SumB1 _|_ h1). Фронтальная проекция АВС выродится в прямую и совместится с проекцией Г2 плоскости совмещения.

Аналогичные действия выполняют при вращении плоской фигуры вокруг ее фронтали. Совмещение в этом случае ведется с фронтальной

плоскостью уровня (Ф || П2), проходящей через ось вращения — фронталь.

Способом вращения могут быть решены и другие задачи, применительно к их условиям.

С какой целью выполняют преобразования

1. С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

2. Назовите способы преобразования комплексного чертежа.

3. Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?

4. В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

5. В чем заключается замена плоскостей проекций?

6. Какие задачи можно решать путем замены двух плоскостей проекции?

7. Как надо расположить новые плоскости проекций, чтобы отрезок прямой общего положения спроецировался в натуральную величину, в точку?

8. Как нужно расположить новую плоскость проекций, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей?

9. При каком расположении плоской фигуры можно определить ее истинную величину путем замены только одной плоскости проекции?

10. В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?

11. Какие линии используются в качестве осей вращения?

12. Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

§ 61. Пересечение прямой с плоскостью

Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют путем построения вспомогательной прямой линии, лежащей в одной проецирующей плоскости с заданной прямой. На рис. 119, а приведен комплексный чертеж прямой l и плоскости 9 (ABC), причем т ~ Q (ABC). Через горизонтальную проекцию прямой l1 проводим проекцию вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости Sum1. В пересечении плоскостей Q и Sum получаем линию т, то есть т =Sum ^ Q. Горизонтальная проекция прямой т определяется горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения линий ЕС и АС со вспомогательной плоскостью Sum , то есть В1С1 ^ Sum = l1; А1С1 ^ Sum1=21; т1 = l1^21.

Рис. 119

Рис. 120

Рис. 121

Для получения фронтальной проекции линии l построим фронтальные проекции точек 1 и 2, соединив которые, получим фронтальную проекцию m2. В пересечении фронтальных проекций прямых т и l получим фронтальную проекцию точки К, принадлежащей и прямой l, и прямой т, лежащей в плоскости Sum. Значит, точка К и принадлежит плоскости Sum, и является точкой пересечения прямой l с плоскорью Sum.

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3, а видимость относительно фронтальной плоскости проекции — с помощью фронтально конкурирующих точек 3 и 4.

Если плоскость занимает частное положение, то одна проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется сразу в пересечении вырожденной проекции плоскости с соответствующей проекцией прямой (рис. 119, б).

Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости на основании теоремы о проецировании прямого угла (см. § 29).

На рис. 120 построены проекции основания М перпендикуляра п, проведенного к плоскости 9 (ABC) из точки К пространства. В AВС имеем: АВ — горизонталь (A2B2 _|_ A2A1), AC — фронталь (А1С1 _|_A1A2). Поэтому проекции перпендикуляра n э К располагаются: п1 _|_A1B1 и n2 _|_ А2С2. Основание перпендикуляра на плоскости построено с помощью вспомогательной линии а плоскости, лежащей в одной с перпендикуляром п горизонтально проецирующей плоскости (а ^ п = М).

Если прямая пересекает плоскость в бесконечности, то имеет место параллельность прямой с плоскостью. На рис. 121 построена прямая т, проходящая через точку N u параллельная плоскости треугольника KLM. На комплексном чертеже параллельность прямой и плоскости доказывается тем, что m1 || а1 и m2 || а2; a ~ KLM.

§ 62. Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой линии. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей.

На рис. 122 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся плоскостей £ и 0, причем плоскость Sum частного положения — фронтально проецирующая. Она пересекает линии АВ и АС плоскости 0, данной треугольниками ABC — плоскости общего положения. Точки пересечения 1 и 2 и определяют линию пересечения плоскостей. Соединив их, получаем искомую линию: a(1, 2) = Sum^Q.

Линию пересечения двух плоскостей, занимающих общее положение, можно построить в исходной системе плоскостей проекции. Для этого дважды решают задачу на построение прямой одной плоскости со второй плоскостью. Задачу можно решать в новой системе плоскостей проекции, построив изображение одной из пересекающихся плоскостей как плоскости проецирующей.

На рис. 123, а построена линия пересечения двух треугольников ABC и DEF путем построения точки М пересечения линии АВ с плоскостью DEF и точки N пересечения линии EF с плоскостью АВС:

1) АВ ~ Sum1(Sum1_|_П2), Sum1 ^DEF=l -2(12—22; 11—21), 11—21 ^ А1B1 = М1, M1,M2 || А1A2,М1М2 ^ А2В2 = М2,М(М,М2);

Рис. 122

Рис. 123

2) EF ~ Sum2(Sum2_|_П2), Sum2 ^ ABC = 3—4(32—42; 31—41),31-41 ^ E1F1= = N1, N1N2 || A1,A2; N1N2^ E2F2 = N2; N(N1,N2);

3) M1 U N1, = M1N1, M2 U N2 = M2N2;

4) ABC^DEF = MN.

После построения определяют видимость пересекающихся плоскостей. На фронтальной плоскости она определена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 5. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций использованы горизонтально конкурирующие точки 6 и 7.

На рис. 123, б эта же линия пересечения построена с помощью дополнительных проекций данных плоскостей на плоскости П4, относительно которой плоскость DEF занимает проецирующее положение.
Дополнительные проекции построены из условия, что горизонталь h € DEF проецируется в точку на плоскости П4 _|_ h. Новые линии связи проведены .через незаменяемые горизонтальные проекции точек А,

В, С, D, E, F параллельно h1, а новая ось проекций П1/П4 _|_ h1. Замеренные на плоскости П2 высоты точек определили их проекции на плоскости П4.

A4B4C4^ D4E4F4 = M4K4, так как А4В4 ^ D4E4F4 = М4 и В4С4 ^ D4E4F4 = = К4. По направлению новых линий связи определяем горизонтальную проекцию линии МК (М1К1). Отмечаем точку пересечения стороны EF c линией МК: E1F1 ^ M1K1 = N1. Точки отрезка NK не имеют общих точек с плоскостью DEF.

Пересекающиеся плоскости в частном случае могут быть перпендикулярными. Для выявления случаев перпендикулярности надо помнить, что если две плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. На рис. 122 дан комплексный чертеж взаимно перпендикулярных пересекающихся плоскостей: одна фронтально проецирующая Sum (Sum2), а вторая — общего положения (ABC) — содержит в себе перпендикуляр АВ к плоскости Sum(AB||П2; A2B2Sum2).

Две плоскости в общем случае могут пересекаться в бесконечности. Тогда имеет место параллельность этих плоскостей. При выявлении этого случая следует учитывать, что у параллельных плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 91 плоскость S параллельна плоскости Sum2, так как а || с, b || d.

§ 63. Пересечение поверхности с плоскостью. Тела с вырезами

При пересечении поверхности с плоскостью в сечении получают плоскую линию. Эту линию строят по отдельным точкам. В начале построения сперва выявляют и строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. В тех случаях, когда проекция линии пересечения не полностью определяется этими точками, строят дополнительные, промежуточные точки, расположенные между опорными.

В данном разделе рассматриваются случаи пересечения поверхности плоскостями частного положения, так как в случае наличия секущей плоскости общего положения чертеж всегда можно преобразовать так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей (см. рис. 129).

В случае пересечения гранной поверхности плоскостью получается плоская ломаная линия. Чтобы построить эту линию, достаточно определить точки пересечения плоскостью ребер и сторон основания, если имеет место пересечение основания, и соединить построенные точки с учетом их видимости (рис. 124, а). Так как в этом случае секущая плоскость Е занимает фронтальное проецирующее положение, то точки пересечения ребер определяются без дополнительных построений:

AS^Sum=1(12; l1); Sum = (22; 21); CS^Sum = 3(32; 31).

Так как грань ACS относительно плоскости П\ невидима, то и линия l1—31 тоже невидима.

Рис. 124

В случае пересечения цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 124, б):

окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения поверхности;

эллипс, если секущая плоскостьSum не перпендикулярна и не параллельна оси вращения;

две образующие прямые, если секущая плоскость U параллельна оси поверхности.

На плоскость П1, перпендикулярную оси вращения поверхности, окружность и эллипс на поверхности цилиндра проецируются в окружность, совпадающую с проекцией всей поверхности.

При пересечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 125, а — д):

окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения (а);



эллипс, если секущая плоскость Sum1 пересекает все образующие поверхности (б);

парабола, если секущая плоскость (Sum2) параллельна только одной образующей (S— 1) поверхности (в);

гипербола, если секущая плоскость (Sum3) параллельна двум образующим (S—5 и 5—6) поверхности (г);

две образующие (прямые), если секущая плоскость (Sum4) проходит через вершину S поверхности (д). Проекции кривых линий сечений

Рис. 125



Рис. 126

плоскостью конуса строятся по отдельным точкам (точки 2, 4 на рис. 125, б).

При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется без искажения (рис. 126, а). Если секущая плоскость занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна (рис. 126, б—на фронтальной), окружность сечения изображается отрезком прямой (12—42), длина которого равна диаметру окружности, а на другой плоскости — эллипсом, большая ось которого (51—61) равна диаметру окружности сечения. Этот эллипс строят по точкам. Точки видимости 2 и 3 относительно плоскости П1 лежат на экваторе сферы.



Рис. 127

Задача построения линии пересечения несколько сложнее при пересечении сферы плоскостью общего положения (рис. 127) Q(a^h).

Этот случай можно свести к предыдущему (см. рис. 126, б), если построить дополнительные изображения сферы и секущей плоскости на плоскости П4 _|_П1, причем П4 _|_h (6). Тогда плоскость в станет проецирующей Q _|_П4 в новой системе плоскостей (см. рис. 127). На чертеже оси проекции проходят через центр сферы. На плоскости П4 отмечаем проекции опорных точек: А4 — самой низкой точки сечения; В4 — самой высокой, дающих величину диаметра d окружности сечения с центром в точке О (О4); Е4 = F4 — на экваторе сферы— точек видимости линии сечения относительно плоскости П1, С4 = D4 = O4 — горизонтального диаметра CD, определяющего большую ось эллипса, — горизонтальной проекции окружности сечения.


Горизонтальная проекция сечения — эллипс — легко строится по большой C1D1 и малой А1В1 осям. Фронтальная проекция окружности тоже эллипс, который можно построить по сопряженным диаметрам A2B2 и C2D2 (высоты этих точек отмечены на плоскости П2 и на плоскости П4) с помощью описанного параллелограмма. Видимость окружности сечения относительно плоскости П2 определяется точками G и H, полученными в пересечении главного меридиана сферы f с плоскостью 9. Для этого взята вспомогательная плоскость уровня Ф:

Ф э f; Ф ^ Q = 2—3;

f2^22—32 = H2 и G2.

Линии среза получаются при пересечении поверхности вращения плоскостью, параллельной оси вращения поверхности. Линии среза часто встречаются на поверхностях деталей. На рис. 128 построена линия среза комплексной поверхности, состоящей из поверхностей сферы и конуса, фронтальной плоскостью уровня Ф. Линия среза включает ли-



Рис. 128



Рис. 129

нию пересечения сферы (В2 —А2 — С2) — часть окружности радиуса r — и линию пересечения конуса (В2 — D2 — С2) — ветвь гиперболы, которую строят по отдельным точкам. В качестве вспомогательных секущих плоскостей для построения промежуточных точек берут плоскости, перпендикулярные оси вращения поверхностей.

Пересечение поверхностей геометрических фигур может быть осуществлено не одной, а несколькими секущими плоскостями. Как и в случае пересечения одной плоскостью, построение каждой линии пересечения упрощается, если секущие плоскости являются плоскостями частного положения.

На рис. 129, а по заданной фронтальной проекции выреза, выполненного в правильной треугольной пирамиде тремя фронтально-проецирующими плоскостями, построены горизонтальная и профильная проекции. При решении таких задач вначале анализируют форму каждой грани выреза. Сторонами этих многоугольников будут: 1) линии пересечения граней пирамиды с плоскостями выреза и 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом. Вершинами: 1) точки пересечения ребер пирамиды с плоскостями выреза и 2) концы отрезков, по которым грани выреза пересекаются друг с другом.


На рис. 129, а плоскость I пересекает ребра пирамиды SА и SВ в точках 1 и 2, а с плоскостью III пересекается по отрезку 3—4; таким образом, форма грани 1 — четырехугольник 1—2—3—4. Аналогично в плоскости II получается четырехугольник 5—6—7—8. Вершинами четырехугольника 3—4—8—7 в грани III являются концы отрезков, по которым эта грань пересекается с гранями I и П. Стороны всех этих многоугольников составляют очертания выреза. Для получения их проекций на пл. П1 и П3 сначала нужно отметить фронтальные проекции (12 . . . 82) всех вершин, затем построить горизонтальные и профильные их проекции, после чего соединить на П1 и П3 вершины каждого многоугольника последовательно, с учетом видимости каждого отрезка. Грань I расположена горизонтально, поэтому на П3 проецируется в горизонтальный отрезок. Грань пирамиды SAC профильно-проецирующая, поэтому все линии выреза, полученные в ней, на П3 проецируются в одну линию. При обводке чертежа нужно стереть или оставить тонкими линиями части вырезаемых ребер пирамиды.

На рис. 129, б построены проекции правильной четырехугольной призмы с отверстием, ограниченным фронтально-проецирующими плоскостями.

Каждая грань выреза (I, II, III, IV) представляет собой плоский многоугольник, сторонами которого являются: 1) линии пересечения соответствующей секущей плоскости с гранями призмы и 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом (отрезки 1—2; 3—4; 5—6; 7—8). Исходя из этого, имеем: грань I — трапеция 1—2—4—3; грань II — трапеция 3—4—6—5; грань III — прямоугольник 5—6—8—7; грань IV — шестиугольник 1—2—10—8—7—9. После анализа формы граней выреза производится построение проекций этих фигур на пл. П1 и П3. На пл. П1 все линии контура совпадают с вырожденными проекциями соответствующих граней. Грани II и IV расположены горизонтально, поэтому на пл. П3 проецируются в виде горизонтальных отрезков.



Рис. 130

На рис. 130, а показано построение выреза в цилиндре. Вырез ограничен тремя гранями. Вертикальная грань ограничена двумя горизонтальными сквозными ребрами 55' и 66' и прямыми 5,6 и 5' 6' на боковой поверхности цилиндра.


Наклонную грань ограничивают частью эллипса на боковой поверхности цилиндра и сквозным ребром 55'. Горизонтальная грань представляет собой плоскую фигуру, ограниченную частью окружности и прямой 66'.

Линии выреза, лежащие на боковой поверхности цилиндра, проецируются на окружность основания на П1. Профильная их проекция строится по точкам измерения их глубин относительно плоскости симметрии цилиндра ф. Сквозные ребра 55' и 66' невидимы на П1 и П3

На рис. 130, б приведена задача построения выреза в конусе. Призматическое отверстие в конусе имеет три внутренние стенки, границами между которыми служат ребра АА', BE' и СС', которые перпендикулярны П2i. Правая стенка (АЕ) имеет форму трапеции, так как секущая плоскость этой стенки проходит через вершину S и пересекает конус по образующим SD и SD'. Части этих образующих между точками А (А') и В (В1) дают контур правой стенки. Нижняя стенка (между ребрами ВВ' и СС') представляет собой часть круга, ограниченного параллельно h. Левая стенка (между ребрами АА' и СС') ограничена частью параболы, проекции которой определяются точками F (Р) на профильном меридиане конуса и промежуточными точками К (К') на вспомогательной параллели h'.

Профильный меридиан конуса «вырезан» на участке между точками Е (E') и F (F).

На рис. 130, в построены проекции сферы с вырезом. Призматическое отверстие имеет 4 внутренние стенки, границами между которыми служат ребра АА', ВВ', СС', DD', которые перпендикулярны П2.

Каждая стенка представляет собой часть круга. Верхняя и нижняя параллельны П1 и проецируются на нее в виде части окружности с радиусами, которые определяются по параллелям h и h'.

Экватор вырезан между точками 1,5 и 2,6. Правая и левая стенки выреза параллельны П3 и проецируются на нее в виде частей круга с радиусами, которые определяются окружностями Р и Р'. Профильный меридиан вырезан между точками 3,7 и 4,8.

Приведенные примеры показывают, что, меняя положение секущих плоскостей, можно получить вырезы заданной формы.

§ 64. Пересечение поверхностей

При пересечении двух поверхностей образуется линия, в общем виде представляющая собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Причем полученные части могут быть и плоскими, и кривыми.

Если пересекаются гранные поверхности, в общем случае получается пространственная ломаная кривая.

Линию пересечения двух плоскостей строят по отдельным точкам. Сначала в пересечении контурных линий одной поверхности с другой определяют и строят опорные точки. Построение этих точек позволяет видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл построить промежуточные (или случайные) точки. При построении точек пересечения двух поверхностей следует помнить, что проекции этих линий всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся плоскостей. На рис. 131 изображены две пересекающиеся поверхности. Площадь сечения — заштрихована. В пределах этой площади и будет расположена линия пересечения заданных поверхностей на данной плоскости проекций.

§ 65. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения.

Рис. 132

Рис. 133

Плоскости общего положения применяются в ограниченных случаях. Например, их удобно использовать при построении линии пересечения конических и цилиндрических, а также пирамидальных и призматических поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости.

Решение задачи построения линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей рассмотрим на примере пересечения конуса вращения со сферой. В качестве поверхностей-посредников примем плоскости частного положения— горизонтального уровня. На рис. 132 сначала отметим очевидные общие точки А и В поверхностей в пересечении их главных меридианов f и 1-S-2, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф(Ф1); f2^S2—S2 = А2(В2); A2Al(B2Bl) || S2S1, A2Al(B2Bl) ^f1 =A1(B1)

Эти опорные точки являются наивысшей А и наинизшей В точками линии пересечения, а также точками видимости линии на плоскости П2.

Брать вспомогательные фронтальные плоскости, параллельные П2, для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графические простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г.

Первую такую вспомогательную плоскость Г1 берем на уровне экватора сферы И. Эта плоскость пересекает конус по параллели h1. В пересечении этих параллелей находятся точки видимости линии пересечения относительно плоскости П1:

h1^h11 = С1(D1); С1С2|| S1S2; С1С2 ^ h2(hl2) = C2(D2).

Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии (рис. 133), то самую высокую А и низкую В точки линии пересечения поверхности легко определить, построив изображения этих поверхностей на плоскости П4, параллельной осевой плоскости Sum (Sum1) данных поверхностей. Можно построить проекции всей линии пересечения в системе плоскостей П1_|_П4, а затем построить ее фронтальную проекцию в проекционной связи с горизонтальной проекцией, замеряя высоты точек на плоскости П4, так, как это показано на рис. 132 для точек А и В.

§ 66. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

При построении линии пересечения поверхностей особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве вспомогательных поверхностей-посредников использовать сферы, со-осные с данными поверхностями.

К соосным поверхностям вращения относятся поверхности, имеющие общую ось вращения. На рис. 134 изображены соосные цилиндр и сфера (рис. 134, а), соосные конус и сфера (рис. 134, б) и соосные цилиндр и конус (рис. 134, в).

Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 134 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов.

Вспомогательная сфера-посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения.

§ 67. Особые случаи построения линии пересечения двух поверхностей вращения

При построении линии пересечения поверхностей вращения — конуса и цилиндра — могут быть различные случаи. На рис. 136 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае (рис. 136, а) цилиндр врезается в конус, потому что если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором (рис. 136, б) конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем (рис. 136, в) сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса. В этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Это положение подтверждается теоремой Монжа: если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят, что поверхности имеют двойное прикосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 137). Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные, плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF и AEBD изображаются

Рис. 136

Рис. 137

Рис. 138

Рис. 139

отрезками прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с вырожденной проекций вертикального цилиндра, на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 138).

В конструкциях технических деталей часто при пересечении поверхностей вращения используют сопрягающую поверхность, которая осуществляет плавный переход от одной поверхности к другой (рис. 139, а, б, в).

Чтобы не строить две близко расположенные линии пересечения сопрягающей поверхности с основными поверхностями, на чертеже проводят условно одну линию, выполняя ее тонкой сплошной линией.

Эту линию и называют линией перехода. Линия перехода заканчивается в точках пересечения очерковых линий основных поверхностей (рис. 139, а) и заменяется более простыми (циркульными) кривыми.

Общим способом построения

Посредники пересекают заданные поверхности по линиям, желательно по графически простым. Тогда в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие обеим поверхностям, а значит, и линии их пересечения. В качестве поверхностей-посредников используют или плоскости, или сферы. В зависимости от принятого вида посредника именуют и способ построения линии пересечения: способ вспомогательных секущих плоскостей или способ вспомогательных сфер.

Если оси поверхностей

При построении линии пересечения поверхностей для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:

1) пересечение поверхностей вращения;

2) оси поверхностей — пересекающиеся прямые — параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;

3) нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях.

Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 135 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоскости уровня Ф (Ф1) осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости П2 или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели h', лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г2), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П1. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы. Вспомогательные горизонтально или фронтально проецирующие плоскости, проведенные через вершину одной из поверхностей, будут пересекать их по образующим и эллипсам. В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О (О1; О2), которая является центром вспомогательных сфер, радиус сферы изменяется в пределах

Rmin < R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).



Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

Рис. 135

h22 ^ h32 = E2(F2); Е2Е1 || А2А1;

Е2Е1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1

Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности по окружностям h4 и h5, в пересечении которых находятся точки Ми N:

h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || А2А1,

М2М1 ^ h41 = М1; N2N1 ^ h41 = N1

Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.

Какова последовательность решения задач на

1. Какие задачи называются позиционными?

2. Какова последовательность решения задач на пересечение на комплексном чертеже?

3. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью уровня?

4. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

5. По какой линии пересекаются две фронтально проецирующие плоскости?

6. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей общего положения?

7. Как строится линия пересечения поверхностей плоскостью?

8. Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового цилиндра, конуса, сферы?

9. Что такое линия среза?

10. Что представляет собой вырез?

11. Чем можно задать необходимую форму выреза?

12. Как строят линию пересечения двух поверхностей?

13. Какие вспомогательные поверхности удобно использовать при построении точек линии пересечения двух поверхностей?

14. В чем сущность способа вспомогательных секущих плоскостей в построении линии пересечения двух поверхностей?

15. По каким линиям пересекаются соосные поверхности вращения?

16. Когда можно использовать вспомогательные сферы при построении линии пересечения двух поверхностей?

17. По каким линиям пересекаются два прямых круговых цилиндра одного диаметра, если их оси пересекаются? Почему?

18. Какую линию называют линией перехода и как она вычеркивается при изображении пересекающихся поверхностей?

§ 69. Определение истинной величины расстояний

Некоторые задачи на определение расстояний рассматривались в предыдущих разделах. Например, в § 42 определялась натуральная величина отрезка прямой линии методом треугольника, в § 57 определялась натуральная величина отрезка способом плоскопараллельного переноса. Эта задача может быть также решена способом замены плоскостей проекций (см. § 58) или способом вращения (см. § 59). Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей (см. § 58, задача 2). На рис. 140 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П2_|_П1-> П1_|_П4, П4 ||АВ, П1/П4 ||A1B1;

2) П1П4 -> П4_|_П5, П5 _|_AB, П4/П5 _|_A4B4;

3) M5K5 — истинное расстояние от точки М до прямой AB;

4) чтобы построить проекции перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей, строят основание перпендикуляра— точку К—на прямой АВ из условия, что в системе П4 _|_П5; он занимает положение линии уровня, т. е.

M4K4_|_A4B4. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ. Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж (см. § 58, задача 3). На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

Рис. 140

1) П1,П2->П1_|_П4, П4_|_Q, П1 /П4 _|_ h(A, 1)~ 0;

2) М4K4 _|_Q4 — истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;



3)M1K1_|_K4Kl или || П1/ П4;

4) K2 построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П4.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними. На рис. 142 определено расстояние между прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых. Сначала построено

Рис. 141

изображение прямых на плоскости П4_|_П1. В этой системе плоскостей прямые занимают положение линии уровня:

а(b)|| П4; П1 /П4 ||а,(b1).

В системе плоскостей П4 _|_ П5 прямые занимают проецирующее по отношению к плоскости Пз положе-



Рис. 142

ние: П5 _|_ а(b); П4/П5 _|_a(b4) Отрезок M5K5 между вырожденными проекциями прямых определяет истинную величину расстояния между прямыми а и Ъ. Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

§ 70. Определение истинной величины углов

Задачу на определение истинной величины углов (плоских) удобнее решать путем преобразования исходного чертежа способом вращения вокруг линии уровня. Истинная величина углов между пересекающимися прямыми с и d (рис. 143) определена следующим образом: плоскость угла повернута вокруг своей фронтали f (1, 2) до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф (Ф1), проходящей через

Рис. 143

фронталь f Проекция MI совмещения вершины М угла между прямыми с и d находится на проекции Sum2 фронтально проецирующей плоскости Sum, в которой вращается точка М. Определив с помощью прямоугольного треугольника О2М2М натуральную величину радиуса вращения r и отложив ее на проекции Е2 от фронтальной проекции центра вращения, получаем изображение точки М на плоскости П2 в совмещенном с плоскостью Ф положении. Соединяя фронтальные проекции неподвижных точек 1 и 2 с построенной точкой М, получаем проекции с2 и d2, совмещенных с плоскостью Ф прямых с и d. Угол между прямыми с2 и d2 определяет натуральную величину искомого угла между пересекающимися прямыми с и d.

Эта задача также может быть решена способом замены плоскостей проекций. Для этого двойной заменой плоскостей проекций нужно сделать плоскость угла плоскостью уровня, решив последовательно сначала третью исходную задачу, а затем — четвертую.

Натуральная величина угла между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Угол а между прямой l и плоскостью 6 может быть определен через дополнительный угол р между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 144). Угол Р дополняет искомый угол а до 90°. Определив истинную величину угла Р путем вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром и, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла а между прямой l и плоскостью 0.

Истинная величина двугранного угла — между двумя плоскостями Q и л.
— может быть определена или путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2), или если ребро не задано, как угол между двумя перпендикулярами n1 и n2, проведенными к данным плоскостям (см. § 61) из произвольной точки М пространства (см. рис. 145). В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских

Рис. 144



Рис. 145

угла а и Р, которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов (двугранных), образованных плоскостями q и л,. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n1 и n2 путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями q и л.

§ 71. Определение истинной величины плоской фигуры

Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рис. 146, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П2 на П4, приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П4- Выполнив вторую замену, то есть замену П4 на П5, определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рис. 146, б).

В ряду рассматриваемых задач может быть также решена задача на определение истинной величины фигуры сечения поверхности проецирующей плоскостью. В этом случае достаточно одной замены плоскостей проекций (исходная задача 3). В этом случае истинную величину фигуры сечения можно легко построить путем непосредственного замера расстояний точек фигуры «вдоль сечения» и «поперек сечения» (рис. 147).

Длина фигуры сечения АВ изображается в истинную величину на плоскости П2, так как является отрезком фигуры фронтали секущей плоскости. Расстояние между симметричными точками «поперек сечения» изображается в натуральную величину на плоскости П1 так как является отрезками горизонталей секущей плоскости Sum.

§ 72. Построение разверток поверхностей

При изготовлении различных конструкций и изделий из листового материала имеет большое значение построение разверток поверхностей. Если представить себе поверхность как гибкую нерастяжимую пленку, то некоторые из них путем изгиба можно совместить с плоскостью без разрывов и деформаций. Такие поверхности относятся к развертывающимся, а полученную в результате развертывания поверхности плоскую фигуру называют разверткой этой фигуры. Те поверхности, которые нельзя совместить без разрывов и деформаций, относятся к неразвертываемым (см. § 45).

В практике возникает необходимость изготовления из листового железа не только развертывающихся плоскостей. Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические или цилиндрические поверхности. При развертывании конических и цилиндрических поверхностей общего вида в практике их аппроксимируют вписанными гранными поверхностями. В этом случае чем больше граней содержит вписанная поверхность, тем точнее ее развертка. Построенные таким образом развертки поверхностей называют приближенными.

Чтобы построить развертки неразвертывающихся поверхностей, эти поверхности разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями. После этого строят развертки этих частей, которые в сумме дают условную развертку неразвертывающейся поверхности.

§ 73. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

При развертывании поверхности на плоскости каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке: линия поверхности переходит в линию развертки; длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями, остаются неизмеренными. Таким образом, процесс построения развертки сводится к отыскиванию натуральной (истинной) величины каждого элемента поверхности и изображению их на плоскости.

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Рис. 149

Каждая боковая грань на развертке строится как треугольник по трем сторонам. CS — самое короткое боковое ребро, поэтому рациональнее мысленно разрезать пирамиду по этому ребру.

Для нанесения на развертку точек D, Е и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью Sum, нужно определить истинные расстояния этих точек от вершины S. После построения развертки боковой грани поверхности усеченной части пирамиды нужно пристроить к ней треугольники АBС и DEF, дающие истинную величину основания и сечения пирамиды.

На рис. 149 способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка представляет собой симметричную фигуру, так как поверхность имеет плоскость симметрии Sum. В этой плоскости лежит самая короткая образующая S-6. По ней и сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая S-0 является осью симметрии развертки поверхности.

Натуральные величины образующих определены с помощью прямоугольных треугольников, как в предыдущей задаче на рис. 149. От оси симметрии S-0 строим шесть в одну сторону и шесть в другую сторону примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Каждый из треугольников строим по трем сторонам, при этом две сто-

Рис. 150

роны равны истинным величинам образующих, а третья — хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. Построенные на развертке точки О, 1, 2, ... соединяются. Построение развертки значительно упрощается, если поверхность представлена прямой пирамидой правильной формы или прямым круговым конусом.
На рис. 150 приведена развертка четырехгранной прямой пирамиды. Построение ее упрощается тем, что образующая пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее спроецировались в натуральную величину. Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить сторону AS и сделать засечки радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А, соответственно получим точку В и т. д. Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон (на рис. 150 — на базе стороны АВ). Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (М2) проведем горизонтальную линию до пересечения с ребрами A2S2 и B2S2. Получим точки 11 и 22. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD на которой нанесем точку М в том положении, которое она занимает на горизонтальной проекции линии 1, 2.

Рис. 151

На рис. 151 приведен пример построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса l на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки — точку S, радиусом L проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построим развертку. Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из точки M2 проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получим точку M2.


Расстояние от основания конуса до точки M2 по образующей является высотой точки, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки M на развертке. Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

§ 74. Развертки призматических и цилиндрических поверхностей

Развертки призматических и цилиндрических поверхностей строят способом нормального сечения. Поверхность рассекают плоскостью, перпендикулярной ее образующим (ребрам), и определяют истинную величину нормального сечения. Линию нормального сечения развертывают в прямую. Тогда образующие (ребра) поверхности при развертке ее на плоскость располагаются перпендикулярно развертке линии нормального сечения, которую принимают за базу отсчета размеров образующих (ребер).

На рис. 152 построена полная развертка поверхностей треугольной призмы ABCDEF. Так как боковые ребра призмы BE, AD и CF параллельны плоскости П2, то они в истинную длину изображены на фронтальной плоскости проекций. Плоскость нормального сечения Sum(Sum2) является фронтально проецирующей. Нормальное сечение POR призмы построено в натуральную величину на плоскости П4, параллельной плоскости Sum и перпендикулярной плоскости П2. Линию нормального сечения разворачиваем в прямую и через точки Р, Q, R, и Р проводим прямые, перпендикулярные развертке линии нормального сечения. На каждом из построенных перпендикуляров откладывают по обе стороны от линии Р Р отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости П2 (до нормального сечения и после него). Отмечаем точки

Рис. 152

Рис. 153

ребер на развертке А и D; С и F; В и Е, соединяем их отрезками прямых, которые дают истинную величину сторон основания призмы. Присоединяя к разверткебоковой поверхности призмы оба основания (треугольники А В С и DEТ), получаем полную развертку призмы. На развертку призмы нанесена точка М, принадлежащая грани призмы ACFD, с помощью вспомогательной прямой, параллельной ребрам призмы и пересекающей нормальное сечение в точке 1.

На рис. 153 построена развертка боковой поверхности эллиптического цилиндра, в который для построения развертки вписана двенадцатиугольная призма. Поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии. Самая длинная образующая — нулевая, самая короткая — шестая, по ней и сделан разрез поверхности. Развертка — фигура симметричная относительно нулевой образующей.
Истинная величина половины нормального сечения поверхности плоскостью Sum построена на плоскости П4 — эллипс. Разворачиваем дугу полуэллипса в прямую 0 — 6с помощью хорд 04—14, ... 54 — 64, заменяющих кривые участки эллипса. В точках 0, 1, ... 6 на развертке восстанавливаем перпен-

Рис. 154



Рис. 155

дикуляры, по которым откладываем натуральную длину участков, образующих поверхности (до нормального сечения и после него), измеренную на плоскости П2. Концы отрезков соединяем плавными кривыми, которые являются разверткой оснований поверхности.

С помощью седьмой образующей на развертку нанесена точка поверхности.

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей значительно упрощается, если они представлены простыми прямыми фигурами. Для примера на рис. 154 приведена развертка трехгранной призы правильной формы. Развертки ее строим, воспользовавшись тем, что ребра ее АА, ВВ, СС параллельны фронтальной плоскости проекций и проецируются на нее в натуральную величину, а нижнее ABC и верхнее А'В'С' основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и проецируются на нее в натуральную величину. Точка М на развертке трехгранной призмы строится обычным способом.

На рис. 155 приведен пример построения развертки прямого кругового цилиндра. Ее высота Н на фронтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину, а нижнее и верхнее основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируются в натуральную величину. В этом случае развертку цилиндрической поверхности строим с помощью хорд, соединяющих соседние точки деления окружности оснований, в который вписан правильный двенадцатиугольник. В этом случае цилиндрическая поверхность условно заменена поверхностью вписанной правильной двенадцатигранной призмы, и развертка цилиндрической поверхности построена способом триангуляции.

Положение точки М на развертке цилиндрической поверхности определяется обычным способом.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ § 68. Общие сведения о метрических задачах

К метрическим относятся задачи, связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже. Можно выделить три группы метрических задач.

1. Группа задач, включающих в себя определение расстояний от точки до другой точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны.

2. Группа задач, включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла).

3. Группа задач, связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа. В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

Как на комплексном чертеже определить

1. Какие задачи называются метрическими?

2. Какие группы задач выделяются в метрических задачах?

3. Как на комплексном чертеже определить расстояние между двумя точками пространства; от точки до прямой; от точки до плоскости?

4. Как определить кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; от прямой до плоскости?

5. Какие построения необходимо выполнить на чертеже, чтобы определить натуральную величину угла между двумя пересекающимися прямыми общего положения?

6. Как по чертежу определить истинную величину угла между плоскостями общего положения, если ребро образованного ими двугранного угла не задано?

7. Какие вы знаете способы построения истинной величины фигуры сечения поверхности плоскостью общего положения?

8. Что называется разверткой поверхности?

9. Какие поверхности относятся к неразвертывающимся поверхностям?

10. Можно ли построить развертку неразвертывающейся поверхности?

11. Каким способом строят развертки пирамидальных (конических) поверхностей?

12. Каким способом строят развертки призматических (цилиндрических) поверхностей?

13. Как нанести на развертку поверхности точку, ей принадлежащую?

---

---